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El presente libro se caracteriza por una exposición breve y clara de los temas tratados, valiéndose de analogías y sin entrar en detalles innecesarios. Se presta especial atención a la interrelación de los resultados y al enfoque general del material considerado.

Este tomo está dedicado a los fundamentos de la matemática, los problemas de la computabilidad y la deducibilidad. Entre los temas tratados podemos mencionar las máquinas de Turing, las funciones recursivas, la lógica, la teoría de modelos, la indecidibilidad de la aritmética y la imposibilidad de axiomatizarla, el décimo problema de Hilbert. Los problemas clásicos relacionados con estos temas se han abordado desde un nuevo punto de vista, facilitando de este modo su comprensión (por ejemplo, los teoremas de Gödel se demuestran en unas pocas líneas).

Para estudiantes, profesores, ingenieros y científicos.


Índice


Introducción a la serie "Lecciones de Matemática"
Prólogo al sexto tomo
1 Algoritmos y computabilidad
1.1. Cálculos universales
1.2. ?`Qué es un algoritmo?
1.3. Computabilidad
1.4. Ejemplos y comentarios
1.5. Problema de la indeterminación
1.6. Conjuntos enumerables
1.7. Procedimientos efectivos
1.8. Máquinas de Turing
1.9. Sobre el funcionamiento de las máquinas de Turing
1.10. Funciones recursivas
1.11. Conjuntos diofánticos
1.12. Comentarios y complementos
2 Incompletitud de la aritmética
2.1. Teoremas de G"odel
2.2. Imposibilidad de formalización de la verdad
2.3. Consistencia
2.4. Ecuaciones no resolubles
2.5. Sobre las verdades aritméticas
2.6. ?`Es posible ayudar a la aritmética desde afuera?
2.7. Demostración del segundo teorema de G"odel
2.8. Paradojas lingüísticas
3 Funciones universales y enumeraciones
3.1. Funciones universales
3.2. Conjuntos universales
3.3. Isomorfismo de enumeraciones de G"odel
3.4. Teorema del punto fijo
3.5. Teorema de Rice
3.6. Enumeraciones y g"odelización
4 Deducibilidad
4.1. Conflicto con la definición de verdad
4.2. Problema HSI de Tarski
4.3. Algoritmos normales de Márkov
4.4. Sistemas de Post
4.5. Problema de la equivalencia de palabras
4.6. Tag-problemas
4.7. Gramáticas formales
4.8. Teoría y práctica
5 Lógica matemática
5.1. ?`En qué consiste su misión?
5.2. Variables, conectivas y funciones
5.3. Álgebra de Boole
5.4. Fórmulas, proposiciones, predicados
5.5. Sintaxis y semántica
5.6. Cálculo proposicional
5.7. Lenguajes de primer orden
5.8. Interpretaciones y modelos
5.9. El lenguaje de la aritmética
5.10. Carácter aritmético de las funciones computables
5.11. Medios prohibidos
5.12. Comentarios
6 El lenguaje diofántico y el décimo problema de Hilbert
6.1. Conjuntos diofánticos y funciones diofánticas
6.2. Problemas indecidibles
6.3. Polinomio universal
6.4. Resultados técnicos
6.5. Complementos
7 Matemática constructiva
7.1. Números constructivos
7.2. Sucesión de Specker
7.3. Conflicto con el axioma de elección
7.4. Infinito actual
7.5. Instrumento o realidad
8 Teorías axiomáticas
8.1. Aritmética de Peano
8.2. Paradoja de la categoricidad
8.3. Axiomática de Zermelo--Fraenkel
8.4. Geometría no euclídea
8.5. La hipótesis del continuo
9 Teoría de modelos
9.1. El aspecto lógico
9.2. Qué se encuentra tras los resultados de Gentzen
9.3. La paradoja de Skolem
9.4. Modelos de estructuras booleanas
9.5. Cómo el modelo destruye el esquema
9.6. Modelos abstractos y modelos concretos
9.7. ?`En qué consiste la idea general?
9.8. Bases finitas
10 Grados de indecidibilidad
10.1. Reducibilidad
10.2. Conjuntos productivos y conjuntos creativos
10.3. Conjuntos inmunes
10.4. Máquinas con oráculo
10.5. Grados de Turing
10.6. Jerarquías de los grados
11 Resumen de las definiciones y resultados fundamentales
11.1. Algoritmos y computabilidad
11.2. Incompletitud de la aritmética
11.3. Funciones universales y enumeraciones
11.4. Deducibilidad
11.5. Lógica matemática
11.6. Lenguaje diofántico y el décimo problema de Hilbert
11.7. Matemática constructiva
11.8. Teorías axiomáticas
11.9. Teoría de modelos
11.10. Grados de indecidibilidad
Abreviaturas y notaciones
Bibliografía
Índice de materias